Etichetă: "strategii pariuri"

Elemente de teoria mulţimilor

Noţiunea de mulţime este primară, în sensul că nu poate fi definită cu ajutorul altor noţiuni mai simple. În matematică, cuvântul mulţime marchează orice colecţie de obiecte sau simboluri. Colecţia trebuie să fie bine definită, în sensul că se poate decide întotdeauna asupra apartenenţei sau neapartenenţei unui obiect la colecţia considerată. Practic, a preciza o mulţime înseamnă a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietatea comună care caracterizează aceste obiecte. De exemplu: N = {0,1,2,3,4,…} este binecunoscuta mulţime a numerelor naturale. Aceeaşi mulţime a numerelor naturale mai poate fi scrisă şi astfel: N = { x | x este număr natural}. O mul'ime poate conţine un număr finit sau un număr infinit de elemente. Dacă o mulţime nu conţine nici un element o vom numi mulţime vidă şi o vom nota cu litera grecească Φ. Pentru a evidenţia faptul că un element aparţine sau nu aparţine unei mulţimi date vom utiliza simbolurile matematice de apartenenţă , sau de neapartenenţă . De exemplu, x{1,x,2,y}, sau 3{a,1,2,b,8,c}. Dacă toate elementele unei mulţimi A aparţin şi unei alte mulţimi B, vom spune că A este o submulţime a mulţimii B şi vom scrie acest lucru utilizând simbolul matematic de incluziune, A  B. Simbolul  semnifică o incluyiune strictă, astfel încât, cu siguranţă mulţimea B are cel puţin un element care nu există şi în multimea A. Pe lângă acest simbol vom mai putea folosi şi urmatoarele simboluri, care au semnificaţia:  - pentru incluziunea care poate asigura şi egalitatea de elemente a celor două mulţimi  - pentru a preciza neincluziunea  - pentru incluziunea strictă a celei de-a doua mulţimi în prima  - pentru incluziunea şi cu posibilitatea de egalitate a celei de-a doua mulţimi în prima. Prin convenţie, mulţimea vidă  se consideră a fi submulţime pentru orice mulţime dată. Ideea de mulţime poate fi reîntregită prin conceptul de mulţimi egale, adică mulţimile care au aceleaşi elemente. Acest concept poate fi suficient dacă am defini egalitatea a două mulţimi prin următoarea declaraţie: A = B dacă şi numai dacă AB şi BA. Având de-a face cu mulţimi de aceeaşi natură, în sensul că elementele acestora fac parte dintr-o aceeaşi colecţie mai amplă de obiecte numită mulţime totală sau mulţime universală, pe care o notăm cu T, putem indroduce următoarele operaţii importante: (1) - În acest capitol nu vom prezenta nici o demonstraţie a vreunui rezultat sau a vreunei teoreme sau formule. Scopul este doar acela de a prezenta principalele instrumente matematice utilizate în capitolele care urmează. Cititorul interesat poate găsi demonstraţiile şi alte amănunte în câteva din cărţile prezentate în bibliografia de la sfârşitul lucrării sau în manualelee şcolare de clasa a X-a şi a XI-a. 1°. Reuniunea a două mulţimi A şi B, notată prin A U B, reprezintă mulţimea elementelor care aparţin sau lui A sau lui B. 2°. Intersecţia a două mulţimi A şi B, notată prin A  B, reprezintă mulţimea elementelor care aparţin şi lui A şi lui B. Dacă A  B = , spunem că mulţimile A şi B sunt disjuncte. 3°. Diferenţa a două mulţimi A şi B, notată prin A - B, reprezintă mulţimea elementelor care aparţin lui A şi nu aparţin lui B. 4°. Complementara unei mulţimi A faţă de o mulţime mai amplă, de exemplu mulţimea totală T, notată prin A, sau prin CTA, reprezintă mulţimea elementelor care aparţin lui T şi nu aparţin lui A, altfel spus: A = T-A. 2. Elemente de combinatorică Deseori suntem puşi în situaţia de a evalua numărul unor grupări care se pot forma cu obiectele unei mulţimi date. Fie M o mulţime dată, finită, cu elementele sale notate astfel: x1, x2, x3,…, xn. O grupare cu k elemente ale mulţimii M este o succesiune de k elemente, 1kn, distincte sau nu. O grupare este caracterizată prin: obiectele din care este formată şi ordinea în care acestea sunt considerate. O grupare de trei elemente poate fi, de exemplu, următoarea: (x5, x1, x12). Două grupări, de exemplu (x1, x2,…, xp) şi (y1, y2,…, yq), sunt identice dacă şi numai dacă p=q şi xi = yi pentru orice i = 1, 2, …, p. Îna cazul în care cel puţin una din aceste condiţii nu este îndeplinită atunci grupările se numesc distincte. 2.1. Permutări Fie M o mulţime cu n elemente distincte, M = { x1, x2,…, xn}. Orice grupare cu n elemente distincte ale mulţimii M se numeşte permutare asupra mulţimii M. Ca exemplu considerăm mulţimea M cu elementele {1,2,3}. Permutările acestei mulţimi sunt următoarele: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Grupările cu trei elemente (2,1,2) sau (3,3,3) nu sunt permutări asupra mulţimii M deoarece elementele lor nu sunt distincte. Numărul permutărilor asupra unei mulţimi cu n elemente distincte se notează cu Pn sau cu n! (se citeşte "n factorial") şi este egal cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n. Aşadar, Pn = n! = 1.2.3.… .n (1.1) Prin convenţie se consideră că 0!=1. Una dintre cele mai utile proprietăţi legate de permutări este următoarea egalitate evidentă: Pn+1 = (n+1).Pn (1.2) 2.2. Aranjamente Fie M o mulţime de n elemente distincte, n2. Grupările cu k elemente distincte ale mulţimii M, 1kn, se numesc aranjamente de n obiecte luate câte k. Numărul total al acestora se notează cu Akn şi este dat de furmula: Akn = n.(n-1).(n-2) .….(n-k+1) (1.3) În formula (1.3) avem exact k factori. De exemplu, A410 = 10.9.8.7 = 5040. Dacă considerăm mulţimea M={1,2,3,4,5} numărul A25=5.4=20 reprezintă numărul de aranjamente de 5 obiecte luate câte 2, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4). Cea mai utilă formulă legată de aranjamente este următoarea: Akn = n!/(n-k)! (1.4) Se observă uşor că Ann= n!, datorită convenţiei menţionate anterior. De asemenea avem că A0n = 1, în virtutea formulei (1.4). 2.3. Combinări Atunci când ne interesează grupări ale unui număr dat de obiecte, în care ordinea acestor obiecte nu interesează, spunem că avem de-a face cu combinări ale acestor obiecte. Fie M o mulţime cu n elemente distincte. Combinările de n obiecte luate câte k se notează cu Ckn. Numărul total al acestora este dat de formula: Ckn = Akn / Pk = n! / [k!(n-k)!] (1.5) Luând acelaşi exemplu de mai sus cu mulţimea M = {1,2,3,4,5}, avem că Ckn = 10, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5). Cea mai importantă proprietate a combinărilor este cea legată de complementareitate şi este exprimată de formula: Ckn = Cn-kn (1.6) Se observă uşor că C0n = Cnn = 1. 2.4. Binomul lui Newton Se consideră dezvoltarea binomială cunoscută sub numele de formula binomului lui Newton: (ab)n = C0nanb0  C1nan-1b1 + C2nan-2b2  … + +(-1)kCknan-kbk + … + (-1)nCnna0bn. (1.7) Coeficienţii C0n, C1n, C2n, …, Cnn din această dezvoltare se numesc coeficienţi binomiali. Termenul general al dezvoltării este dat de formula: Tk+1 = (-1)kCknan-kbk, k=0,1,2,…,n (1.8) 3. Elemente de calculul probabilităţilor 3.1. Eveniment. Frecvenţă. Probabilitate Prin experienţă aleatoare se înţelege o experienţă al cărei rezultat, numit probă, variază la întâmplare. Un eveniment desemnează apariţia sau producerea şi, tot aşa de bine, neapariţia sau neproducerea unui anumit fenomen sau unei anumite situaţii. El este legat de o anumită experienţă. Un eveniment este numit sigur sau cert dacă suntem informaţi suficient de bine că s-a produs sau se va produce în viitor cu siguranţă; în caz contrar avem de-a face cu evenimentul incert. Altfel spus, faptul că un eveniment este cert sau incert este o apreciere a celui care decide pe baza informaţiilor disponibile la un moment dat şi nu neapărat o caracteristică intrinsecă sau obiectivă a acestui eveniment. În fapt, producerea unui eveniment este strâns legată de realizarea unui anumit număr de condiţii. Astfel, evenimentul sigur poate fi considerat ca fiind acela care se produce de fiecare dată când sunt realizate condiţiile. Evenimentul imposibil este acel eveniment care nu se poate produce niciodată atunci când condiţiile sunt realizate. Evenimentul aleator sau incert este acela care în prezenţa condiţiilor se poate produce sau nu. Presupunem că avem de-a face cu extragerea unei bile dintr-o urnă care conţine 7 bile albe şi 3 bile negre. Se mai presupune că toate cele 10 bile sunt perfect identice ca formă, dimensiune şi greutate, singura caracteristică distinctivă fiind culoarea. Această din urmă condiţie trebuie să ne asigure că orice extragere se va face de fiecare dată în condiţii identice, eliminând din experienţă orice element care poate favoriza oricât de puţin extragerea unei bile înaintea celorlalte. Teoretic, putem considera că avem de-a face cu condiţii ideale de efectuare a experienţei propuse. De asemenea, vom considera că extragerea din urnă se va efectua astfel încât nici un operator uman sau de altă natură să nu poată "vedea" sau interveni în vreun fel în selectarea vreunei bile anume. Punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă, vom extrage şi vom nota de fiecare dată culoarea bilei care apare. Considerăm următoarele evenimente: E1 = "se extrage o bilă albă", E2 = "se extrage o bilă neagră". Vom face următoarele observaţii. Fie n numărul experienţelor efectuate până la un moment dat, iar k numărul de realizări ale evenimentului E1, adică numărul de apariţii ale unei bile albe. Se va putea observa că raportul k/n tinde să se stabilizeze în jurul unei anumite valori, aceasta fiind egală cu 7/10. Cu cât numărul de experienţe efectuate este mai mare, cu atât mai bine se poate constata că raportul vizat anterior se va apropia din ce în ce mai mult de valoarea 7/10, această tendinţă astfel din ce în ce mai evidentă. Raportul k/n se numeşte frecvenţă. Prin stabilitatea frecvenţei înţelegem proprietatea evidenţiată mai sus de a se apropia de o anumită valoare când numărul experienţelor creşte. Această valoare este numită probabilitatea evenimentului E1 şi se notează cu p(E1). În mod analog, putem aprecia şi probabilitatea evenimentului E2, p(E2)=3/10. În toate cele considerate în continuare ne vom referi numai la experienţe cu un număr finit de cazuri posibile. Un asemenea model este cel prezentat mai sus referitor la extragerea bilelor din urnă. Dacă toate bilele sunt de aceeaşi formă, dimensiune şi greutate, atunci nu avem nici un motiv serios să credem că, dacă facem un numărsuficient de mare de extrageri (punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă), vreuna dintre bile va apărea cu o frecvenţă mai mare sau mai mică decât celelalte. Raţionamentul pentru determinarea probabilităţilor în cazul finit poate fi ameliorat substanţial prin utilizarea unor noţiuni noi precum: număr de cazuri egal posibile şi număr de cazuri egal favorabile. În exemplul de mai sus, pentru extragerea unei bile aflate în urnă sunt posibile în mod egal exact 10 cazuri, acesta fiind de fapt numărul total de bile aflate în urnă înaintea efectuării experienţei. Cum printre acestea sunt doar 7 bile care ne interesează pe noi - cele 7 bile albe legate de evenimentul E1 - spunem că avem de-a face cu 7 cazuri favorabile. În acest mod intuitiv, probabilitatea de realizare a unui eveniment ar putea fi considerată ca fiind egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului respectiv şi numărul cazurilor egal posibile. Urna cu bile oferă une model simplu pentru experimente probabilistice cu un număr finit de cazuri egal posibile. În locul bilelor albe şi negre putem presupune că avem de-a face cu 10 bile numerotate de la 1 la 10. Frecvenţa de apariţie a unei bile, oricare ar fi aceasta, oscilează în jurul valorii 1/10, atunci când numărul probelor creşte şi nr aşteptăm ca apropierea să fie cu atât mai mare cu cât numărul probelor este mai mare. 1/10 este limita către care tinde în general şirul frecvenţelor unui eveniment de genul “apariţia bilei cu numărul k”, unde 1 ≤ k ≤10, dacă numărul probelor ar creşte indefinit. Definiţia probabilităţii unui eveniment legat de o experienţă cu un număr finit de cazuri egal posibile este aplicabilă doar la această categorie de evenimente. Cele mai simple probleme de calcul probabilistic cer probabilitatea unui eveniment legat de o astfel de experienţă şi se reduc la calcularea celor două numere şi a reportului lor: numărul n al cazirilor (egal) posibile ale experienţei, care este caracterizat numai de experienţa propriu-zisă, fără a fi definit vreun eveniment, şi numărul k al cazurilor favorabile producerii evenimentului considerat. În acest caz spunem că probabilitatea acestui eveniment este k/n. Într-un limbaj mai intuitiv am putea spune că producerii evenimentului respectiv îi sunt favorabile “k şanse din n”. Câtă încredere putem acorda considerentelor de mai sus? Am putea spune fără reticenţă că totală. Pentru aceasta este suficient să încercăm efectuarea unor experienţe divers, cum ar fi: - aruncarea zarurilor, - aruncarea unei monede, - extragerea bilei dintr-o urnă etc. Încrederea se bazează pe faptul că se satisface intuiţia care nu este altceva decât o manifestare a experienţei acumulate de om de-a lungul evoluţiei sale. Şi dacă totuşi, în efectuarea unei constatăm că se manifestă o abatere flagrantă de la regulile stipulate mai sus mai degrabă ar trebui să ne îndoim de ”corectitudinea” experienţei efectuate decât de legea probabilităţilor. Toate cele consemnate mai sus se constituie într-o definiţie clasică a probabilităţii care are la bază noţiunea de egal-probabilitate sau, după o formulare de dată mai recentă, echiprobabilitatea evenimentelor. Ea este acceptată în mod intuitive pe considerente de simetrie. Dacă într-o urnă nu se găsesc decât două bile, una albă şi una neagră, bilee pe care nu le putem deosebi decât după culoare (nu şi după greutate, formă, dimensiuni etc.), şi dacă din această urnă se extrage o bilă, spunem că următoarele evenimente: E1 = „apariţia bilei albe” şi E2 = „apariţia bilei negre” sunt echiprobabile. Prin aceasta înţelegem nu că ar fi nelogic ca în serii mai lungi de extrageri (frecvenţe) unul din aceste evenimente să se producă systematic mai des decât celălalt, ci doar că ar fi nefiresc să se întâmple asta. Cu alte cuvinte, o astfel de situaţie nu ar intra în conflict cu principiile generale ale logicii, ci doar cu bunul nostru simţ. În ceea ce priveşte scopul urmărit în această lucrare, recomandăm cititorului să se mulţumească cu această accepţiune intuitivă a noţiunilor de eveniment şi probabilitate. Evenimentul sigur şi evenimentul imposibil sunt evenimente contrare. Dacă două evenimente sunt contrare, atunci la orice efecture a experienţei se realizează cu certitudine unul şi numai unul dintre ele. Mai general, spunem că evenimentele A1, A2, A3, ..., An formează un sistem complet de evenimente dacă la orice experiment se realizează cu certitudine unul şi numai unul din aceste evenimente. Se observă că cele n evenimente formează un sistem complet dacă şi numai dacă: Două sau mai multe evenimente legate de aceeaşi experienţă se numesc incompatibile dacă nu pot fi realizate împreună. În caz contrar sunt compatibile. a) evenimentul “A1sau A2 sau A3 ... sau An” este eveniment sigur (se realizează cel puţin unul din cele n evenimente), b) A1, A2, A3, ..., An sunt incompatibile două câte două (se realizează cel mult unul din evenimente). În limbajul pe care l-am adoptat în teoria mulţimilor cele două proprietăţi mai pot fi scrise şi astfel: a) A1U A2U A3U...U An = A, unde A este mulţimea tuturor evenimentelor care descriu experienţa, b) Ai,∩ Aj = Φ, pentru orice i şi j de la 1 la n, i  j. Considerarea operaţiilor cu evenimente şi a relaţiilor dintre evenimente, preluate din teoria mulţimilor este necesară pentru exprimarea celor mai simple proprietăţi ale probabilităţilor dar şi cele mai importante. Proprietăţile care urmează sunt – după cum se va putea observa – proprietăţi evidente ale frecvenţei evenimentelor, proprietăţi păstrate printr-o trecere la limita obişnuită. Astfel, dacă două evenimente A şi B legate de aceeaşi experienţă sunt incompatibile şi dacă efectuăm de n ori experienţa evenimentul A s-a realizat de nA ori, iar evenimentul B de nB ori, atunci evenimentul “A sau B” s-a realizat de nA + nB ori (deoarece A şi B nu s-au realizat niciodată simultan). Rezultă că între frecvenţele celor trei evenimente există relaţia: fn(A sau B) = fn(A) + fn(B). Este normal să transformăm această proprietate a frecvenţelor într-o proprietate a probabilităţilor. În mod simplu orice proprietate a probabilităţilor dintre cele prezentate mai jos poate fi verificată pentru frecvenţe. În general, vom nota probabilitatea evenimentului A prin p(A). Iată deci, cele mai importante proprietăţi: 1) 0 ≤ p(A) ≤ 1, pentru orice eveniment A. 2) p(Φ) = 0 şi p(S) = 1, unde prin Φ şi S s-au notat evenimentul imposibil şi, respectiv, evenimentul sigur. 3) p(AUB) = p(A) + p(B), dacă A şi B sunt evenimente incompatibile. 4) p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A∩B). 5) p(Å) = 1 - p(A), unde prin Å s-a notat evenimentul contrar (opus) al evenimentului A. 6) p(B∩Å) = p(B) - p(A), dacă A→B; prin această notaţie care se citeşte “evenimentul A implică evenimentul B”, înţelegându-se că realizarea evenimentului A atrage după sine realizarea evenimentului B, cu alte cuvinte, de fiecare dată când s-a realizat A, s-a realizat cu certitudine şi B. 7) p(B∩Å) = p(B) - p(A∩B). Cunoaşterea acestor proprietăţi este necesară pentru a obţine prin calcul direct probabilităţile unor evenimente, cunoscând probabilitatea de realizare a altor evenimente, cât şi pentru stabilirea proprietăţilor de bază ale unor noţiuni, cât şi pentru stabilirea proprietăţilor de bază ale unor noţiuni foarte importante din teoria probabilităţilor. Unele dintre proprietăţile de mai sus admit şi anumite generalizări, cum ar fi, de exemplu, proprietăţile 3 si 4. Lăsăm pe seama cititorului lămurirea acestor observaţii utile. 3.2. Probabilitate condiţionată. Dependenţa şi independenţa Prin notaţia p(B/A) vom înţelege probabilitatea ca evenimentul B să se realizeze în ipoteza că evenimentul A s-a realizat, p(A) 0, sau probabilitatea lui B condiţionat de realizarea lui A. Formula de calcul a unei astfel de probabilităţi este: p(B/A) = p(A∩B) / p(A). Două evenimente A şi B sunt independente dacă p(A∩B) = p(A) . p(B). Intuitiv acest fapt se poate exprima prin aceea că probabilitatea realizării (sau nerealizării) oricăruia din cele două evenimente nu se modifică în funcţie de realizarea, nerealizarea sau ignorarea celuilalt. Două evenimente care nu sunt independente se spune că sunt dependente. În mai toate manualele de teoria probabilităţilor sunt folosite notaţiile şi limbajul teoriei mulţimilor. Prezentăm în continuare o paralelă a terminologiei utilizate în cele două teorii: Limbajul mulţimilor Limbajul evenimentelor Mulţimea totală S Evenimentul sigur S Submulţime a lui S Eveniment Mulţimea vidă Φ Eveniment imposibil Reuniunea AUB “A sau B” Intersecţia A∩B “A şi B” CSA, Å “non A”, Å A A→B A∩B = Φ A, B incompatibile Uzul a introdus o anumită suprapunere a limbajului mulţimilor peste cel al evenimentelor astfel încât vom vorbi de “reuniunea evenimentelor”, “evenimentul complementar” etc., după cum este mai uşor în înţelegerea explicaţiilor. 3.3. Formule şi scheme probabilistice Vom prezenta câteva formule uzuale din calculul probabilităţilor precum şi unele scheme probabilistice dintre cele mai utile. Rolul schemelor este de a da o rezolvare unor probleme de un anumit tip pentru a nu fi nevoiţi să apelăm de fiecare dată la un raţionament sau la un calcul complex când întâlnim o problemă de tipul respectiv. De exemplu, una din scheme dă probabilitatea ca un eveniment de probabilitate cunoscută să se realizeze de un număr de ori, când repetăm experienţa de care e legat de un număr dat de ori. Odată cunoscută această schemă, dacă vom întâlni o problemă în care este dată o anumită experienţă care se repetă în condiţii identice, putem apela la rezultatul cunoscut. Pentru înţelegerea corectă a aplicării acestor reguli şi scheme vom prezenta odată cu ele şi exemple concrete de utilizare. 3.3.1. Regula de înmulţire a probabilităţilor p(A1∩A2∩...∩An) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1∩A2) … p(An/A1∩A2∩…∩An). Exemplu: O urnă conţine 6 bile albe şi 43 bile negre. Se extrag trei bile, una câte una, fără întoarcerea bilei extrase înapoi în urnă. Care este probabilitatea obţinerii a trei bile albe? Rezolvare: Introducem evenimentele: A1: prima bilă extrasă este albă A2: a doua bilă extrasă este albă A3: a treia bilă extrasă este albă Cu aceste notaţii avem p(A1) = 6/49; p(A2/A1) = 5/48; p(A3/A1∩A2) = 4/47; Aşadar p(A1∩A2∩A3) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1∩A2) = = 5/4606. 3.3.2. Formula probabilităţii totale Dacă A1, A2, …, An formează un sistem complet de evenimente atunci pentru orice eveniment A avem: p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+…+p(An).p(A/An) Exemplu: Se consideră două urne identice. Una conţine 3 bile albe şi 4 bile negre iar cealaltă 4 bile albe şi 5 bile negre. Din una din aceste urne, aleasă la întâmplare, se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albă? Rezolvare: Considerăm evenimentele: A1: extragerea se face din prima urnă A2: extragerea se face din a doua urnă A: bila extrasă este albă Se observă imediat că A1 şi A2 formează un system complet de evenimente şi p(A1) = p(A2) = 1/2. p(A/A1) = 3/7, p(A/A2) = 4/9. Aplicând formula probabilităţii totale putem scrie: p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2) /A1) = = 1/2 . 3/7 + 1/2 . 4/9 = 55/126.